平面等加速度运动解题方法

2020-07-08 相机知道

一般而言,当我们处理平面等加速度运动时,会将所处理的座标分为两个相互垂直的方向,(如:水平方向与铅直方向、平行斜面方向与垂直斜面方向、切线方向与法线方向…等)在各自的方向上以直线运动的概念解题,在依其需要合併即得解,今天考虑平面向量及正弦定理,部分题型可以不须分解即可求解,通用例题如下:

例题:
某物体自地面(或离地高 $$h$$)以初速度 $$v_0$$ 与水平夹 $$\theta$$ 角斜向抛出,在出发后时刻 $$t$$ 时,物体的速度为 $$v$$ 且与水平方向夹角 $$\varphi$$:

1.  物体的速度 $$v$$ :
由加速度的定义:

$$\vec{a}=\displaystyle\frac{\Delta\vec{v}}{\Delta t}$$

$$\Delta \vec{v}=\vec{v}-\vec{v_0}=\vec{a}\cdot\Delta t$$

$$\vec{v}=\vec{v_0}+\vec{a}\cdot\Delta t$$

平面等加速度运动解题方法

由正弦定理可得:

$$\displaystyle\frac{v_0}{\sin\left(\frac{\pi}{2}+\varphi\right)}=\frac{v_0}{\sin\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)}=\frac{gt}{\sin(\theta-\varphi)}$$

再依照所需求解 $$v$$ 或 $$t$$。如下例题:

问:
某物体自地面以仰角 $$60^\circ$$ 初速 $$20~m/s$$ 斜面抛出,经历时间 $$t$$ 后,速度方向与水平方向夹俯角 $$30^\circ$$,试求:(1) $$v$$ 的大小 (2) $$t$$的大小 ($$g = 10~m/s^2$$)
答:
由角度关係及各物里量方向,可绘出以下关係图

平面等加速度运动解题方法

由正弦定理可知

$$\displaystyle\frac{20}{\sin 60^\circ}=\frac{10\cdot t}{\sin 90^\circ}=\frac{v}{\sin 30^\circ}$$

2. 物体的位移 $$\Delta r$$:

由加速度的定义可得 $$\vec{v}=\vec{v_0}+\vec{a}t$$(取出发时时刻为零,出发点为原点),再由速度与位移的关係可得:

$$\displaystyle \vec{v}=\frac{d\vec{r}}{dt}=\vec{v_0}+\vec{a}\cdot t$$

$$d\vec{r}=(\vec{v_0}+\vec{a}\cdot t)dt$$

$$\int d\vec{r}=\int\limits^t_0(\vec{v_0}+\vec{a}\cdot t)dt$$

$$\vec{S}=\Delta \vec{r}=(\vec{v_0}\cdot t)+(\frac{1}{2}\vec{a}\cdot t^2)$$

可得物体所做的位移可以区分为 $$(\vec{v_0}\cdot t)$$ 向量与 $$(\frac{1}{2}\vec{a}\cdot t^2)$$ 向量的合成,如图

平面等加速度运动解题方法

再由正弦定理求解相关物理量:

$$\displaystyle\frac{v_0\cdot t}{\sin(\frac{\pi}{2}+\varphi)}=\frac{S}{\sin(\frac{\pi}{2}-\theta)}=\frac{(\frac{1}{2}g\cdot t^2)}{\sin(\theta-\varphi)}$$

此一解法适用于求解斜面上的抛体运动,特举一例题如下:

问:
如图,球在高度为 $$20$$ 米,宽度为 $$40$$ 米之坡底,以初速 $$25$$ 米/秒,与水平夹 $$53^\circ$$ 仰角丢出,则

(1) 物体于出发后何时落于斜坡面?
(2) 物体于斜面上的落点与出发点的距离?

平面等加速度运动解题方法

答:

平面等加速度运动解题方法

由正弦定理可得:$$\displaystyle\frac{25\cdot t}{\sin(90^\circ+\varphi)}=\frac{\frac{1}{2}\times{10}t^2}{\sin(53^\circ-\varphi)}=\frac{S}{\sin 37^\circ}$$

$$(1)$$ 由 $$\displaystyle\frac{25\cdot t}{\sin(90^\circ+\varphi)}=\frac{\frac{1}{2}\cdot 10t^2}{\sin(53^\circ-\varphi)}$$,化简可得

$$\displaystyle\frac{5}{\cos\varphi}=\frac{t}{\sin(53^\circ-\varphi)}$$,其中 $$\displaystyle\cos\varphi=\frac{2}{\sqrt{5}},~~\sin\varphi=\frac{1}{\sqrt{5}},~~\tan\varphi=\frac{1}{2}$$

$$\displaystyle t=\frac{5\cdot(\sin(53^\circ-\varphi))}{\cos\varphi}=\frac{5(\sin53^\circ\cos\varphi-\cos53^\circ\sin\varphi)}{\cos\varphi}$$

$$\displaystyle t=5(\sin53^\circ-\cos53^\circ\tan\varphi)=5\left(\frac{4}{5}-\frac{3}{5}\times\frac{1}{2}\right)=2.5~(S)$$

$$(2)$$ 由 $$\displaystyle\frac{25\cdot t}{\sin(90^\circ+\varphi)}=\frac{S}{\sin 37^\circ}$$,化简可得

$$\displaystyle S=\frac{25\cdot t}{\cos\varphi}\cdot\sin 37^\circ=25\times 2.5\times \frac{\sqrt{5}}{2}\times \frac{3}{5}=\frac{75\sqrt{5}}{4}~(m)$$

参考资料:
1.        南一版物理(上)教师手册
2.        例题取材:翰林版题库系统

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